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LE GEOMETRIE NON ARCHIMEDEE
di Franco Eugeni e Raffaele Mascella
INTRODUZIONE.– Nell’ambito dell’assiomatica Euclidea nell’indirizzo di David Hilbert si riserva una parte di grande interesse ai Postulati di Continuità. Una delle più interessanti formulazioni si deve a Richard .Dedekind, che ne ha proposto una chiave di lettura, antecedente all’approfondimento stimolato da Giuseppe Veronese. Ricordiamo che la continuità può essere espressa dal solo Postulato di Deedekind o in alternativa dai due Postulati di Cantor e di Archimede. E’ abbastanza facile dare un esempio di geometria non cantoriana, basta prendere lo spazio numerico 2-dimensionale (o 3 dimensionale ) reale e limitarci ai soli punti a coordinate razionali ed alle rette a coefficienti razionali, ma si può allargare al campo dei numeri algebrici reali o al campo p-adico. La ricerca di una geometria non archimedea è stata più sofferta. Fu Giuseppe Veronese a dare un classico modello di retta non archimedea ai primi del ‘900. Nei lavori dei quali presentiamo una sintesi divulgativa, si parte dalla definizione assiomatica della retta euclidea reale, senza derivarla da strutture piane, secondo una antica proposta di Peano. Si costruiscono poi vari modelli di rette non archimedee, fino alla classificazione finale di dette rette. In Appendice il Postulato di Deedekind e gli equivalenti Postulato di Cantor congiunto al postulato di Archimede.
LAVORI SCARICABILI (clicca sul titolo)
Eugeni F., Furneri S. e Mercanti F. (1999), Una presentazione delle Geome-trie non archimedee, in Atti del Congresso Nazionale Mathesis, Teramo, pp. 101-111. Si ricostruisce il modello di Veronese nel prodotto cartesiano ZxZ.
Franco Eugeni – Raffaele Mascella,(2001). La retta euclidea reale a partire da una relazione d’ordine, Periodico di Matematiche – direzione Eugeni), serie VIII, vol.1, n.3, pp.45-56. E’ l’idea di Peano, formalizzata in termini attuali.
Eugeni F. e Mascella R. (2002), Un’assiomatica per la retta euclidea reale alla maniera di Peano, in F. Eugeni (a cura di), Critica dei fondamenti, Edil-grafital, Teramo, pp.37-62. Nel dare la nozione di retta euclidea, in modo indipendente dalla geometria piana, si assegna una assiomatica (10 assiomi) che costituisce una struttura isomorfa al campo dei numeri reali.
Eugeni F. e Mascella R. (2002), Su alcuni modelli geometrici non archimedei; in F. Eugeni (a cura di), Critica dei fondamenti, Edilgrafital, Teramo, 63-90. Eliminando dalla assiomatica della retta euclidea l’assioma n.9 di Archimede si da una definizione generale di retta non archimedeea denotata con (L ,≤,≅). Si presentano numerosi modelli di tali rette non archimedee.
Eugeni F. e Mascella R. (2005),A complete characterization of non-Archimedean Lines, Memoriile Sectiilor Stiintifice, Editura Academiei Romane, Bucarest, pp. 257-270. E’ un teorema generale di classificazione. Siano dati un gruppo abeliano ordinato (G,+, ≤) e il gruppo (R,+, ≤) dei reali. Definiamo una retta non archimedea nel prodotto (GxR, ≤, ≅) , dove il simbolo “ ≤” è l’ordinamento del prodotto, e la “≅” è la relazione tra segmenti di (GxR, ≤), data, ∀g1, g2, g3, g4∈ G, ∀ r1, r2, r3, r4 ∈R : g2 – g1 = g4 – g3 in G e r2 – r1 = r4 – r3 in R. La classificazione di tutte le rette non archimedee, nel senso sopra definito, è data dal: TEOREMA (Eugeni-Mascella [5]). Sia ( L ,≤,≅) una retta non archimedea, definita assiomaticamente in [4], allora esiste un gruppo abeliano ordinato (G,+, ≤) tale che ( L ,≤, ≅) è isomorfo a (GXR, ≤,≅). # SI OSSERVI CHE: Se (G,+, ≤) è il gruppo degli interi relativi (Z,+, ≤) il prodotto (ZXR, ≤, ≅) è il famoso modello dato nel 1905 da Giuseppe Veronese, modello che è sotto-retta del modello (RXR, ≤,≅) che chiameremo modello standard costruito sul piano cartesiano, dove è fissata una direzione, che ne determina l’ordinamento.
Bibliografia essenziale
[1] Eugeni F., Furneri S. e Mercanti F. (1999), Una presentazione delle Geometrie non Archimedee, in Atti del Congresso Nazionale Mathesis, Teramo, pp. 101-111.
[2] Eugeni F. e Mascella R. (2001), La retta euclidea reale a partire da una relazione d’ordine, Periodico di Matematiche, vol. 3, pp. 45-56.
[3] Eugeni F. e Mascella R. (2002), Un’assiomatica per la retta euclidea reale alla maniera di Peano; in F. Eugeni (a cura di), Critica dei fondamenti, Edilgrafital, Teramo.
[4] Eugeni F. e Mascella R. (2002), Su alcuni modelli geometrici non archimedei; in F. Eugeni (a cura di), Critica dei fondamenti, Edilgrafital, Teramo, pp.63-90.
[5] Eugeni F. e Mascella R. (2005), A complete characterization of non-Archimedean lines, Memoriile Sectiilor Stiintifice, Editura Academiei Romane, Bucarest, pp. 257-270.
[6] Eugeni F. e Mascella R. (2019-20) Piani non archimedei, in stampa su Periodico di Matematica , anno 34°, n.1 (Rivista telematica in www.afsu.it).
[7] Hahn H. (1907), Uber die nichtarchimedischen Grossensysteme, Akademie der Wissenschaften, Mathematisch Naturwissenschaftliche Klasse, vol. 116, pp. 601-655.
[8] Freguglia P. (1977), Osservazioni inerenti alla Geometria sulla retta di G. Peano, Archimede, 2, 95-103
[9] Levi-Civita T. (1898), Sui numeri transfiniti, Rend. Acc. Lincei, vol. VII, I pp. 113-121.
[10] Manara C. F. (1991), Giuseppe Peano ed i Fondamenti della Geometria, in: Atti del Convegno “Peano e i Fondamenti della Matematica”, Mucchi, Modena, 171-184
[11] Veronese G. (1905), La geometria non archimedea. Una questione di priorità, Rend. Reale Acc. Lincei, vol. XIV, I sem., 347-351.
Appendice
Postulato di Dedekind. Se un segmento di retta AB è diviso in due parti, in modo tale che: (1) ogni p unto del segmento AB appartiene ad una sola delle due parti; (2) Il punto A appartiene alla prima parte, il punto B alla seconda; (3) un punto qualunque della prima parte precede un punto qualunque della seconda, nell’ordine AB del segmento; ALLORA esiste un punto C del segmento AB, che può appartenere all’una come all’altra parte, tale che ogni punto di AB che precede C appartiene alla prima parte, ed ogni punto che lo segue appartiene alla seconda parte.
Equivalente ai due seguenti :
Postulato di Archimede. Due grandezze stanno in rapporto l’una con l’altra, quando, se moltiplicate, sono in grado l’una di superare l’altra.
Postulato di Cantor. Se due classi di segmenti di retta sono tali che: (1) nessun segmento della prima classe sia maggiore di qualche segmento della seconda; (2) prefissato un segmento ε piccolo a piacere, esistono un segmento della prima classe ed uno della seconda la cui differenza è minore di ε, ALLORA esiste un segmento che non è minore di alcun segmento della prima classe né maggiore di alcun segmento della seconda.
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