L’ipotesi del continuo afferma che non esiste nessun insieme infinito la cui cardinalità sia compresa strettamente tra quella dell’insieme dei numeri interi e quella dell’insieme dei numeri reali. Kurt Gödel e Paul Cohen hanno dimostrato che l’ipotesi non può essere né dimostrata, né confutata, dagli assiomi ZFC. Non esiste un consenso tra matematici se ciò risolva o meno il problema.
L’insieme dei numeri reali può essere dotato della struttura di insieme ben ordinato? Questa domanda è parzialmente irrisolta, in quanto è correlata all’assioma della scelta di Zermelo-Fraenkel (o all’equivalente lemma di Zorn); nel 1963 si dimostrò che l’assioma della scelta è indipendente da tutti gli altri assiomi nella teoria degli insiemi, cosicché non è possibile basarci su quest’ultimo per risolvere il problema del buon ordinamento dell’insieme dei numeri reali.