Su alcuni ampliamenti di strutture algebriche
di Franco Eugeni e Bruno Rizzi
in Periodico di Matematiche, n.3-4 (1978), pp.71-91.
E’ a tutii ben noto che a partire dai numeri naturali si può pervenire ai numeri razionali seguendo due vie, sia con l’introduzione dei relativi e poi dei razionali ma anche con l’intrduzione prima dei razionali assoluti e poi relativizzandoli. In termini formali si tratta :
a) ampliare il semianello (N,+, •) nell’anello “delle differenze” (Z,+, •) degli interi relativi
b) ampliare (N,+, •) nel semianello “quoziente” (Q+∪〈0〉,+, •) dei razionali non negativi
un successivo ampliamento permette di:
a) ampliare l’anello (Z,+, •) degli interi relativi nel suo” campo dei quozienti” (Q,+, •) dei numeri razionali
b) ampliare il semianello (Q+∪〈0〉,+, •) nel suo “anello delle differenze” , isomorfo a (Q,+, •) .
Nel lavoro si mostra che se, tali due percorsi, si applicano ad un semianello più generale:
1.- la via a) conduce in “due passaggi” ad un campo dei quozienti.
2.- la via b) conduce allo stesso campo dei quozienti ma in “tre passaggi”, fornendo esempi di anelli in cui ciò avviene.
In conclusione la scelta usuale della prima via è una scelta o appare maggiormente come un passaggio obbligato?