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“Dio creò i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo” Leopold Kroneker (1823-1891)
La Matematica è quella scienza nella quale non si sa di cosa si parla,e nella quale ciò che si dice non si sa se sia vero o falso! Bertrand Russell (1872-1970)
Nel realizzare quelle antiche dispense mi diedi il compito di presentare ai miei allievi la genesi dei vari ampliamenti numerici, e molto probabilmente iniziai il corso dalla prima frase scritta sopra, quella di Kroneker scritta sopra, che da sola fornisce una interessante sintesi del mio obiettivo. Mi proponevo di iniziare a presentare ai miei allievi la struttura (Semianello) dei numeri naturali, per arrivare, attraverso ampliamenti successivi, ai numeri ipercomplessi. Quindi i numeri! Ma che cos’è il numero?
I numeri sono stati creati dalla mente umana per contare gli oggetti dei vari insiemi e non hanno, in effetti, alcun riferimento alle caratteristiche fisiche degli oggetti contati. La matematica nacque per vari aspetti della vita quotidiana dell’uomo, quella via da sempre legata strettamente a necessità di sopravvivenza e socializzazione, ai tempi eroici per la pastorizia e per l’agricoltura (nella quale ebbe un gran ruolo anche la geometria!).
La seconda, provocatoria frase scritta sopra, quella di Russell, ha più chiavi di lettura, la più semplice ci spiega che i concetti della matematica sono astratti, quindi non parliamo di oggetti concreti, nemmeno sappiamo se un frase della matematica possa essere vero o falsa, ma solo se essa sia o no deducibile dalle premesse.
L’obiettivo mio era quello di istruire il futuro insegnante, fornendogli le tecniche necessarie per entrare nella logica dei vari dettagli dimostrativi, delle problematiche che nascono quando ci si va ad occupare di generalizzazioni e varianti, inerenti quei numerosi e complicati ambienti numerici, che via via andiamo a costruire. Naturalmente in un momento, come quello di quegli anni, in cui in Italia era diventato di moda il Bourbakismo, occorreva una maggiore formalizzazione, aspetto al quale mi dedicai con molto piacere. Naturalmente si sarebbe potuto andare a fondo sugli insiemi, ma non fu questo il mio scopo, così ricorsi alla Teoria ingenua degli insiemi, premettendola ai numeri naturali e facendo solo osservare, che in quel settore si sarebbe potuto andare molto a fondo, ma allora saremmo andati in ben altra direzione. Il bagaglio culturale, da me individuato, almeno a mio avviso, si prestava per poter successivamente proporre sia presentazioni didattiche, sia ampliamenti divulgativi, adattandoli naturalmente ad ogni livello scolastico, tutto questo una volta impadronitisi di un’ampia conoscenza di quel contesto nel quale si andava ad operare.
Ultima questione, questa del mondo attuale. Proponiamo le vecchie dispense nella forma di libro aperto! In altre parole si tratta di un contenitore, mai in forma definitiva e statica ma, al contrario, sempre in continua evoluzione. Rispetto all’opera originale ci sono varie aggiunte e la presentazione di numerose varianti, altre ne saranno inserite in futuro. Solo alcuni esempi: accanto ai numeri naturali, introdotti nell’opera iniziale attraverso la metodica di Russel, quindi andando a definire la cardinalità degli insiemi finiti, ho inserito nel contenitore anche il metodo assiomatico di Giuseppe Peano. Continuando accanto ai numeri reali, introdotti con il metodo delle classi contigue, ho aggiunto il metodo assiomatico, che crea quel giusto legame con l’attuale mondo dell’Algebra astratta, ripromettendomi successivamente di presentare i vari metodi alternativi (successioni di Cauchy, tagli di Deedekid, etc) ma anche aggiungendo un fascicolo divulgativo, denso di aspetti insoliti e curiosi proprio su questo difficile mondo del campo ordinato dei numeri reali.
Un fenomeno interessante che si presenta negli ampliamenti è quello della permanenza delle proprietà formali. Quando si costruisce un nuovo ambiente numerico si vuole al suo interno ritrovare il vecchio ambiente (si chiama tecnicamente un salto epistemologico) e le proprietà del vecchio ambiente si estendono completamente al nuovo. Naturalmente nel nuovo ambiente si potranno fare nuove operazioni interdette nel vecchio. Tutto questo funziona perfettamente fino alla costruzione del campo ordinato dei numeri reali. Nel successivo ampliamento, quello che conduce a costruire il campo dei numeri complessi, si viene a perdere l’ordinamento, i nuovi numeri non sono ordinabili (tecnicamente si ha un salto epistemologico incompleto). Andando ancora avanti, quando costruiamo il corpo dei quaternioni, perdiamo anche la proprietà commutativa e con l’algebra degli Ottetti di Cayley si perde perfino l’associativa, notando dei fenomeni numerici nuovi e nascosti. Studiare queste algebbre alternative come “ambienti numerici” ci porta a vivere gli spazi vettoriali (astratti) in una forma del tutto piena di fascino, interesse e di una matematica di estrema bellezza.
Il libro aperto potrebbe anche arricchirsi in tante direzioni e trasformarsi in in un ipertesto, inserendo immagini, presentazioni in power point, link, filmati.